研究生课程 · 不确定规划
不确定规划
当你掷硬币 10000 次，频率给了概率；当你只有一句专家估计"工期大约 8 到 12 天"，频率无从谈起——这是信度的世界。不确定理论（刘宝碇）为后者建立公理体系：不确定测度、不确定分布、期望值模型、机会约束规划，最后用仿真 + 智能算法求解。
1 为什么需要不确定理论
概念两种"不确定"
随机性（概率）：事件有明确的频率解释——大量重复试验中比例稳定。适用前提：未来与过去统计同质、样本充足。
不确定性（信度）：无法重复、无样本——全新项目的工期、政策的出台时间、某块油田的储量。此时"估计"来自专家经验，硬套概率会得出严重偏离的结论（Liu 的著名反例：桥的寿命）。
判别标准（Liu 建议）：有足够样本 → 概率；无样本、仅信度 → 不确定理论；两者混合 → 不确定随机规划。
不确定性（信度）：无法重复、无样本——全新项目的工期、政策的出台时间、某块油田的储量。此时"估计"来自专家经验，硬套概率会得出严重偏离的结论（Liu 的著名反例：桥的寿命）。
判别标准（Liu 建议）：有足够样本 → 概率；无样本、仅信度 → 不确定理论；两者混合 → 不确定随机规划。
为什么不用概率硬套：贝叶斯学派也用"主观概率"，但其运算基于可加性；而"信度"的实验（Liu 十字模型）表明人对不互斥事件的信心不满足可加性，只满足对偶性 + 次可加性——这正是不确定公理的出发点。
2 不确定测度与公理体系
公理不确定测度 M
集函数 M: 2^Γ → [0,1] 满足：
公理 1（正规性） M{Γ} = 1；
公理 2（对偶性） M{Λ} + M{Λᶜ} = 1 对任意事件 Λ；
公理 3（次可加性） M{∪Λᵢ} ≤ Σ M{Λᵢ}（对可数事件族）。
与概率的根本区别：概率要求可加（等号 + 互斥），不确定测度只要求次可加——"对两个都可能发生的事，整体信心 ≤ 信心之和"。由此可推出：M{∅}=0、单调性、M{Λ₁∩Λ₂} ≥ M{Λ₁}+M{Λ₂}−1（对偶次可加）。
公理 1（正规性） M{Γ} = 1；
公理 2（对偶性） M{Λ} + M{Λᶜ} = 1 对任意事件 Λ；
公理 3（次可加性） M{∪Λᵢ} ≤ Σ M{Λᵢ}（对可数事件族）。
与概率的根本区别：概率要求可加（等号 + 互斥），不确定测度只要求次可加——"对两个都可能发生的事，整体信心 ≤ 信心之和"。由此可推出：M{∅}=0、单调性、M{Λ₁∩Λ₂} ≥ M{Λ₁}+M{Λ₂}−1（对偶次可加）。
随堂检测公理体系
3 不确定变量与不确定分布
定义Φ(x) = M{ξ ≤ x}
不确定分布是不确定测度作用在 ξ 上得到的单调不减函数，值域 (0,1)，不要求左右连续（区别于概率分布函数）。
三大标准分布：
线性 L(a,b)：Φ 在 [a,b] 上从 0 线性升到 1；
之字 Z(a,b,c)：两段折线，b 处取 ½；
正态 N(e,σ)：Φ(x) = [1 + exp(π(e−x)/(√3σ))]⁻¹（与概率正态形似而神异——它来自 Sigmoid）。
经验不确定分布 / 99 表：专家给出 0.01…0.99 分位点的"不确定量表"，是工程中采集信度数据的标准格式。
三大标准分布：
线性 L(a,b)：Φ 在 [a,b] 上从 0 线性升到 1；
之字 Z(a,b,c)：两段折线，b 处取 ½；
正态 N(e,σ)：Φ(x) = [1 + exp(π(e−x)/(√3σ))]⁻¹（与概率正态形似而神异——它来自 Sigmoid）。
经验不确定分布 / 99 表：专家给出 0.01…0.99 分位点的"不确定量表"，是工程中采集信度数据的标准格式。
4 数字特征与关键值
定义期望、方差、乐观值
期望：E[ξ] = ∫₀^{+∞} M{ξ≥r}dr − ∫_{−∞}^0 M{ξ≤r}dr（对一般变量），标准分布有闭式：E[L(a,b)] = (a+b)/2；E[Z(a,b,c)] = (a+2b+c)/4；E[N(e,σ)] = e。
方差：E[(ξ−e)²]，Var[L] = (b−a)²/12，Var[N(e,σ)] = σ²。
α-乐观值：ξ_sup(α) = sup{x | M{ξ≥x} ≥ α} = Φ⁻¹(1−α)；α-悲观值 = Φ⁻¹(α)。工程上"90% 把握能完成的最短工期"就是乐观值。
方差：E[(ξ−e)²]，Var[L] = (b−a)²/12，Var[N(e,σ)] = σ²。
α-乐观值：ξ_sup(α) = sup{x | M{ξ≥x} ≥ α} = Φ⁻¹(1−α)；α-悲观值 = Φ⁻¹(α)。工程上"90% 把握能完成的最短工期"就是乐观值。
随堂检测数字特征
5 不确定规划模型与仿真
模型EVM、CCP 与相关机会
期望值模型（EVM）：max E[f(x,ξ)] s.t. E[gᵢ(x,ξ)] ≤ 0——把不确定目标/约束折成期望。
机会约束规划（CCP）：max f̄ s.t. M{gᵢ(x,ξ) ≤ 0} ≥ αᵢ——约束只须以置信水平 αᵢ 成立（"九成把握按时完工"）。
相关机会规划（RCP）：max M{事件 h(x,ξ) ≤ 0 发生}——最大化"事情办成"的机会。
求解：难以解析时用不确定仿真（99 表/逆分布采样生成"伪样本"）评估目标与约束，外层接遗传算法/粒子群等智能搜索——"仿真 + 智能算法"是不确定规划的标准装备。
机会约束规划（CCP）：max f̄ s.t. M{gᵢ(x,ξ) ≤ 0} ≥ αᵢ——约束只须以置信水平 αᵢ 成立（"九成把握按时完工"）。
相关机会规划（RCP）：max M{事件 h(x,ξ) ≤ 0 发生}——最大化"事情办成"的机会。
求解：难以解析时用不确定仿真（99 表/逆分布采样生成"伪样本"）评估目标与约束，外层接遗传算法/粒子群等智能搜索——"仿真 + 智能算法"是不确定规划的标准装备。