本科课程 · 数值分析
数值分析
计算机只有有限位数字和有限次运算——近似是宿命，误差是敌人也是情报。本课教你设计"快而稳"的算法：插值、最小二乘、数值积分、迭代求根、解方程组，并理解它们各自的收敛速度与数值陷阱。
1 误差理论
概念绝对误差、相对误差与有效数字
绝对误差 e = x* − x；相对误差 eᵣ = e/|x*|；有效数字：若 |e| ≤ ½×10^{m−n+1} 则有 n 位有效数字。
误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（用近似公式，如泰勒截断）、舍入误差（浮点表示）。
算术运算的误差传播：加减按绝对误差、乘除按相对误差；相近数相减会大量丢失有效数字（灾难性消减）——解决办法是恒等变形。
误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（用近似公式，如泰勒截断）、舍入误差（浮点表示）。
算术运算的误差传播：加减按绝对误差、乘除按相对误差；相近数相减会大量丢失有效数字（灾难性消减）——解决办法是恒等变形。
2 多项式插值与龙格现象
定理存在唯一，但未必听话
插值多项式存在唯一（n+1 个点确定 n 次多项式）：拉格朗日型 Lₙ(x) = Σ yᵢℓᵢ(x)，ℓᵢ(x) = Π_{j≠i}(x−xⱼ)/(xᵢ−xⱼ)；牛顿型（差商表，加点方便）。
余项：f(x) − Lₙ(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)/(n+1)! · ω(x)。等距高阶插值在端点附近 ω 剧烈摆动——龙格现象：节点越多误差反而爆炸。
对策：切比雪夫节点 xₖ = cos((2k+1)π/(2n+2))（端点密、中间疏）使 ω 最小；或分段低次插值 / 三次样条（整体二阶光滑）。
余项：f(x) − Lₙ(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)/(n+1)! · ω(x)。等距高阶插值在端点附近 ω 剧烈摆动——龙格现象：节点越多误差反而爆炸。
对策：切比雪夫节点 xₖ = cos((2k+1)π/(2n+2))（端点密、中间疏）使 ω 最小；或分段低次插值 / 三次样条（整体二阶光滑）。
3 最小二乘逼近
概念不让每个点都过，让整体最像
数据带噪声时，插值"逐点硬贴"反而放大噪声。最小二乘：求 φ(x) = a + bx 使 SSE = Σ(yᵢ − a − bxᵢ)² 最小。
法方程（正规方程）：AᵀA [a b]ᵀ = Aᵀ y；几何本质：y 在列空间上的正交投影。离散正交多项式可避免病态法方程。
法方程（正规方程）：AᵀA [a b]ᵀ = Aᵀ y；几何本质：y 在列空间上的正交投影。离散正交多项式可避免病态法方程。
4 数值积分
概念复化公式与代数精度
梯形公式（1 点）误差 O(h²)；辛普森公式（抛物线，2 点）误差 O(h⁴)；复化公式把区间分成 n 段求和。
代数精度：恰对 ≤ m 次多项式精确。梯形 1 次、辛普森 3 次；n 点高斯求积达 2n−1 次（最高）。
收敛阶观测：p = log₂(err(n)/err(2n))——下方实验室可以直接量出 2 和 4。
代数精度：恰对 ≤ m 次多项式精确。梯形 1 次、辛普森 3 次；n 点高斯求积达 2n−1 次（最高）。
收敛阶观测：p = log₂(err(n)/err(2n))——下方实验室可以直接量出 2 和 4。
5 线性方程组的数值解
概念直接法与迭代法
直接法：高斯消元 = LU 分解（A = LU），O(n³/3)；选列主元避免小主元放大误差。
迭代法：Jacobi：x^{(k+1)} = D⁻¹(L+U 项移过去)；Gauss-Seidel：算出一个立刻用（更快）。
收敛充分条件：系数矩阵严格对角占优（|aᵢᵢ| > Σ_{j≠i}|aᵢⱼ|）⇒ 两法都收敛。迭代法适合大规模稀疏矩阵（微分方程离散后的大方程组）。
迭代法：Jacobi：x^{(k+1)} = D⁻¹(L+U 项移过去)；Gauss-Seidel：算出一个立刻用（更快）。
收敛充分条件：系数矩阵严格对角占优（|aᵢᵢ| > Σ_{j≠i}|aᵢⱼ|）⇒ 两法都收敛。迭代法适合大规模稀疏矩阵（微分方程离散后的大方程组）。
随堂检测插值 · 积分 · 迭代
6 非线性方程求根
定理牛顿法的二次收敛
二分法：线性收敛（每步误差减半），稳定但慢。
牛顿法 xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)：切线与 x 轴的交点；单根附近二次收敛（有效数字每步翻倍）。
风险：导数为零 / 初值远离根时可能不收敛或落入循环；割线法用差商代替导数（超线性 1.618）。
牛顿法 xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)：切线与 x 轴的交点；单根附近二次收敛（有效数字每步翻倍）。
风险：导数为零 / 初值远离根时可能不收敛或落入循环；割线法用差商代替导数（超线性 1.618）。
7 特征值问题的幂法
概念反复乘矩阵，主特征值自己浮出
幂法：任取 v₀，迭代 vₖ₊₁ = Avₖ/‖Avₖ‖。若 |λ₁| > |λ₂|，vₖ → λ₁ 的特征向量，范数比 → |λ₁|。收敛速度取决于 |λ₂/λ₁|。
反幂法（位移）求最接近某点的特征值；QR 算法是求全部特征值的工业标准（高等数值分析中展开）。应用：PageRank 就是幂法。
反幂法（位移）求最接近某点的特征值；QR 算法是求全部特征值的工业标准（高等数值分析中展开）。应用：PageRank 就是幂法。
8 常微分方程数值解
概念欧拉法与龙格-库塔
欧拉法：yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ)——用折线代替曲线，局部截断 O(h²)、全局 O(h)。
改进欧拉 / Heun：平均两个斜率，全局 O(h²)；经典 RK4：四级四阶 O(h⁴)，工程默认。
稳定性：对 y′ = λy（λ<0），欧拉法要求 h < 2/|λ|，否则数值爆炸（刚性问题的根源）。
改进欧拉 / Heun：平均两个斜率，全局 O(h²)；经典 RK4：四级四阶 O(h⁴)，工程默认。
稳定性：对 y′ = λy（λ<0），欧拉法要求 h < 2/|λ|，否则数值爆炸（刚性问题的根源）。