本科课程 · 随机数学引论
随机数学引论
从"一个随机变量"到"一条随机演化的轨道"：泊松过程数清偶然到达的事件，马尔可夫链刻画只看眼前的状态跳转，布朗运动描绘花粉的 drunken walk——它们是排队论、PageRank 与金融模型的共同起点。
1 随机过程的概念
概念一族带下标的随机变量
随机过程 {X(t), t ∈ T}：每个时刻 t 是一个随机变量，固定一次试验则得到一条样本轨道（sample path）。
分类：T 离散（随机序列：马尔可夫链、时间序列）；T 连续（泊松过程、布朗运动）。状态空间离散/连续交叉出四类。
有限维分布族完全刻画过程；独立性、平稳增量、马尔可夫性是三大常用结构假设。
分类：T 离散（随机序列：马尔可夫链、时间序列）；T 连续（泊松过程、布朗运动）。状态空间离散/连续交叉出四类。
有限维分布族完全刻画过程；独立性、平稳增量、马尔可夫性是三大常用结构假设。
2 泊松过程
定义"完全随机"的到达流
三条公理：① N(0)=0；② 独立平稳增量（不相交时段的到达数互相独立、只与时长有关）；③ 长为 t 的时间段内到达数 N(t) ~ P(λt)：P(N(t)=k) = e^{−λt}(λt)ᵏ/k!。
黄金搭档：到达间隔 i.i.d. ~ Exp(λ)（指数分布，均值 1/λ，无记忆性 P(X>s+t|X>s) = P(X>t)）。
λ 的意义：单位时间平均到达率。E[N(t)] = λt。
黄金搭档：到达间隔 i.i.d. ~ Exp(λ)（指数分布，均值 1/λ，无记忆性 P(X>s+t|X>s) = P(X>t)）。
λ 的意义：单位时间平均到达率。E[N(t)] = λt。
随堂检测泊松过程
3 马尔可夫链
定义未来只依赖现在
马尔可夫性（无记忆性）：P(Xₙ₊₁ = j | Xₙ = i, Xₙ₋₁, …, X₀) = P(Xₙ₊₁ = j | Xₙ = i) = pᵢⱼ
转移矩阵 P = (pᵢⱼ)（行和为 1）；n 步转移由 C-K 方程 P⁽ⁿ⁾ = Pⁿ 给出。
分类：不可约（任意两状态互通）、非周期；首达概率、常返与非常返。
转移矩阵 P = (pᵢⱼ)（行和为 1）；n 步转移由 C-K 方程 P⁽ⁿ⁾ = Pⁿ 给出。
分类：不可约（任意两状态互通）、非周期；首达概率、常返与非常返。
4 平稳分布与遍历性
定理时间平均 = 空间平均
平稳分布：πP = π 且 Σπᵢ = 1——"留在原地"的分布律。
遍历定理：不可约 + 非周期的有限链，平稳分布存在唯一，且任意初始分布都收敛到 π；进一步，时间平均 ≈ 期望（1/n Σf(Xₖ) → Σπᵢf(i)）。
应用：PageRank（带阻尼的马尔可夫链平稳分布 = 网页排名）、MCMC（用马尔可夫链按目标分布采样）。
遍历定理：不可约 + 非周期的有限链，平稳分布存在唯一，且任意初始分布都收敛到 π；进一步，时间平均 ≈ 期望（1/n Σf(Xₖ) → Σπᵢf(i)）。
应用：PageRank（带阻尼的马尔可夫链平稳分布 = 网页排名）、MCMC（用马尔可夫链按目标分布采样）。
随堂检测马尔可夫链
5 布朗运动
定义连续的随机游走极限
标准布朗运动 B(t)：① B(0)=0；② 独立平稳增量；③ B(t)−B(s) ~ N(0, t−s)；④ 轨道连续。
性质：E[B(t)] = 0，Var = t（扩散幅度 ∝ √t）；轨道处处连续但处处不可微（分形维数 2）；B(t) ~ N(0,t)。
对称随机游走每步 ±1/√n、每 √n 步并作 1 步，极限即布朗运动（Donsker 定理）——股票价格、物理扩散的数学模型。
性质：E[B(t)] = 0，Var = t（扩散幅度 ∝ √t）；轨道处处连续但处处不可微（分形维数 2）；B(t) ~ N(0,t)。
对称随机游走每步 ±1/√n、每 √n 步并作 1 步，极限即布朗运动（Donsker 定理）——股票价格、物理扩散的数学模型。
6 平稳过程
概念统计特性不随时间平移改变
（宽）平稳过程：均值函数为常数、自相关函数只依赖时间差 τ：R(τ) = E[X(t)X(t+τ)]。
各态历经性：一条轨道的时间平均等于集合平均——使"从一段观测推断整个过程统计特性"合法化。
应用：信号处理（白噪声 R(τ)=σ²δ(τ)）、ARMA 时间序列建模。功率谱密度与自相关函数构成傅里叶对（维纳-辛钦定理）。
各态历经性：一条轨道的时间平均等于集合平均——使"从一段观测推断整个过程统计特性"合法化。
应用：信号处理（白噪声 R(τ)=σ²δ(τ)）、ARMA 时间序列建模。功率谱密度与自相关函数构成傅里叶对（维纳-辛钦定理）。