第一章

集合与常用逻辑用语

集合是高中数学的第一块基石——此后每一章的函数定义域、值域、解集，都要用集合的语言来书写。本章你将学会：准确地「装」元素、比较集合之间的大小关系、对集合做交并补运算，并用充分必要条件、量词把「命题」说清楚。

1.1 集合的概念

概念什么样的对象能构成集合？

集合是某些确定的、不同的对象组成的整体。这些对象称为集合的元素。给定一个对象，它要么属于集合（记作 ∈），要么不属于（∉），不能模棱两可。

集合三特征：① 确定性——任何一个对象是否属于该集合是明确的（"高个子同学"不行，"身高超过 1.8m 的同学"可以）；② 互异性——集合中的元素互不相同；③ 无序性——{1, 2} 与 {2, 1} 是同一集合。

常用数集：N（自然数集）、Z（整数集）、Q（有理数集）、R（实数集）。

集合	列举法	描述法
小于 10 的质数	{2, 3, 5, 7}	{x \| x 为小于 10 的质数}
所有偶数	（列举不完）	{x \| x = 2k, k ∈ Z}
方程 x² = 3x 的根	{0, 3}	{x \| x² − 3x = 0}

注意：描述法中竖线后面的条件必须能唯一确定元素。0 与 ∅ 不同：0 是数，∅ 是没有元素的集合。

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1.2 集合间的基本关系

概念子集、真子集与相等

若集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，则 A ⊆ B（A 是 B 的子集）；若 A ⊆ B 且 B 中至少有一个元素不属于 A，则 A ⊊ B（真子集）；若 A ⊆ B 且 B ⊆ A，则 A = B。

两个重要结论：
① 空集 ∅ 是任何集合的子集——讨论 A ⊆ B 时千万别漏掉 A = ∅ 的情形；
② 含 n 个元素的集合共有 2ⁿ 个子集、2ⁿ − 1 个真子集、2ⁿ − 2 个非空真子集。

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1.3 集合的基本运算

概念交、并、补

交集 A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B} —— 取两者都有的部分；
并集 A ∪ B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B} —— 两者的全部；
补集 ∁ᵤA = {x | x ∈ U 且 x ∉ A} —— 全集 U 中挖掉 A 的部分。

德摩根律：∁(A ∪ B) = ∁A ∩ ∁B，∁(A ∩ B) = ∁A ∪ ∁B——"并的补 = 补的交"。下面的实验室里选 ∁ᵤ(A∪B) 一档即可直观验证第一条。

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1.4 充分条件与必要条件

概念当 p 能推出 q 时……

若命题 p ⇒ q 为真，则称 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。

推出关系	p 是 q 的…	集合观点（p、q 的解集分别为 P、Q）
p ⇒ q 且 q ⇏ p	充分不必要	P ⊊ Q（小范围推大范围）
q ⇒ p 且 p ⇏ q	必要不充分	Q ⊊ P
p ⇔ q	充要条件	P = Q
p ⇏ q 且 q ⇏ p	既不充分也不必要	互不包含

记忆法："小推大"——范围小的条件能推出范围大的结论。x > 3 ⇒ x > 1，所以"x > 3"是"x > 1"的充分不必要条件。

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1.5 全称量词与存在量词

概念∀ 与 ∃，以及命题的否定

全称量词 ∀（对所有……）：短语"所有的""任意一个"。含量词的命题如 ∀x ∈ R, x² ≥ 0。
存在量词 ∃（存在……）：短语"存在一个""至少有一个"。如 ∃x ∈ R, x² < 0。

含豆词命题的否定：改量词、否结论。
∀x ∈ M, p(x) 的否定是 ∃x ∈ M, ¬p(x)；
∃x ∈ M, p(x) 的否定是 ∀x ∈ M, ¬p(x)。

易错点：否定"x² ≥ 0"得到的是"x² < 0"（否定整个不等式），而不是"x² > 0"。