第二章

一元二次函数、方程和不等式

方程刻画"相等"，不等式刻画"大小"。本章把二次函数的图象、二次方程的根、二次不等式的解集串成一条线——三个"二次"本是一家；再学会一个改变你不等式观感的工具：基本不等式。

2.1 等式性质与不等式性质

a − b > 0 ⇔ a > b；　a − b = 0 ⇔ a = b；　a − b < 0 ⇔ a < b

作差法的步骤：作差 → 变形（因式分解 / 配方 / 通分）→ 定号 → 下结论。比较大小的题目，"作差"几乎是万能的第一步。

不等式的性质（都可由作差法证明）：

若 a > 0, b > 0，则 √ab ≤ a + b2，当且仅当 a = b 时取等号

使用口诀"一正、二定、三相等"：
① 一正——a、b 必须都是正数；
② 二定——求"积的最大值"要有和为定值，求"和的最小值"要有积为定值；
③ 三相等——验证等号能否取到（a = b），取不到则最值不成立。

常用变形：ab ≤ ((a+b)/2)²（和定积最大）；a + b ≥ 2√ab（积定和最小）。

两种玩法：自由对比——任取 x、y，看两个平均值谁大；定和探积——固定周长，拖动矩形的宽，看面积何时最大。

算术平均 (x+y)/2

几何平均 √(xy)

在定和模式中把宽拖到恰好是周长四分之一（x = 周长/4）——矩形变成正方形，面积达到最大，"当且仅当 x = y 取等"。

一元二次不等式 ax² + bx + c > 0（a > 0）的解集，由对应二次方程 ax² + bx + c = 0 的根（即抛物线与 x 轴交点）决定：

判别式	与 x 轴交点	ax²+bx+c > 0 的解集	ax²+bx+c < 0 的解集
Δ > 0	两个交点 x₁ < x₂	{x \| x < x₁ 或 x > x₂}	{x \| x₁ < x < x₂}
Δ = 0	一个交点 x₀	{x \| x ≠ x₀}	∅
Δ < 0	无交点	R	∅

图象法口诀：a > 0 时抛物线开口向上，"大于取两边，小于取中间"；a < 0 时先两边同乘 −1 化为 a > 0 再解。