第 五 章 · 选择性必修第二册
一元函数的导数及其应用
导数刻画瞬时变化率：让 Δx 无限趋于 0，割线变成切线，平均速度变成瞬时速度。有了求导法则，函数的单调性、极值、最值从"看图猜"变成"解方程"——这是微积分送给高中生的第一件神兵。
5.1 导数的概念及其意义
概念从平均到瞬时
平均变化率：Δy/Δx = [f(x₀+Δx) − f(x₀)]/Δx——割线的斜率。
导数（瞬时变化率）：f′(x₀) = lim(Δx→0) Δy/Δx——切线的斜率。
求导三步：一差（求 Δy）、二比（算 Δy/Δx）、三趋近（令 Δx → 0）。
导数（瞬时变化率）：f′(x₀) = lim(Δx→0) Δy/Δx——切线的斜率。
求导三步：一差（求 Δy）、二比（算 Δy/Δx）、三趋近（令 Δx → 0）。
导数的几何意义：曲线 y = f(x) 在点 P(x₀, f(x₀)) 处切线的斜率。切线方程：y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀)。物理意义：位移的导数是瞬时速度。
随堂检测5.1 小测
5.2 导数的运算
概念基本导数表与运算法则
| f(x) | c | xⁿ | √x | 1/x | sin x | cos x | eˣ | aˣ | ln x | logₐx |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f′(x) | 0 | n·xⁿ⁻¹ | 1/(2√x) | −1/x² | cos x | −sin x | eˣ | aˣln a | 1/x | 1/(x ln a) |
四则运算法则：
[f ± g]′ = f′ ± g′； [f·g]′ = f′g + fg′； [f/g]′ = (f′g − fg′)/g²
复合函数：[f(g(x))]′ = f′(g(x))·g′(x)（外层导 × 内层导），如 (sin 2x)′ = 2cos 2x。
[f ± g]′ = f′ ± g′； [f·g]′ = f′g + fg′； [f/g]′ = (f′g − fg′)/g²
复合函数：[f(g(x))]′ = f′(g(x))·g′(x)（外层导 × 内层导），如 (sin 2x)′ = 2cos 2x。
随堂检测5.2 小测
5.3 利用导数研究函数的单调性
概念一导定增减，二导看极值
单调性：某区间内 f′(x) > 0 ⇒ f 递增；f′(x) < 0 ⇒ f 递减。
极值：f′(x₀) = 0 且 f′ 在 x₀ 两侧变号，则 x₀ 为极值点（左正右负 → 极大；左负右正 → 极小）。
闭区间最值：比较极值点与端点的函数值，最大者为最大值。
极值：f′(x₀) = 0 且 f′ 在 x₀ 两侧变号，则 x₀ 为极值点（左正右负 → 极大；左负右正 → 极小）。
闭区间最值：比较极值点与端点的函数值，最大者为最大值。
经典陷阱：f′(x₀) = 0 推不出极值！如 f(x) = x³ 在 x = 0 处 f′ = 0，但 f′ = 3x² ≥ 0 不变号，函数一路递增、没有极值。三步流程：求 f′ → 解 f′ = 0 → 列表判号。