第 四 章 · 选择性必修第二册
数列
数列是定义在正整数集上的函数——图象是一串孤立的点。等差数列是"匀速前进"，等比数列是"加速膨胀"，两套公式体系（通项 + 求和）是高考的常客；数学归纳法则教会我们无穷步的推理如何两步完成。
4.1 数列的概念
概念按顺序排成一列的数
数列：按一定次序排列的一列数 a₁, a₂, a₃, …，记作 {aₙ}。
通项公式：aₙ = f(n)（n ∈ N*）——项数 n 的函数；
递推公式：由 aₙ 与前几项的关系给出（如 aₙ₊₁ = aₙ + 2）。
分类：递增、递减、常数列、摆动数列；Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ，且 aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁（n ≥ 2）。
通项公式：aₙ = f(n)（n ∈ N*）——项数 n 的函数；
递推公式：由 aₙ 与前几项的关系给出（如 aₙ₊₁ = aₙ + 2）。
分类：递增、递减、常数列、摆动数列；Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ，且 aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁（n ≥ 2）。
随堂检测4.1 小测
4.2 等差数列
概念匀速前进的数列
定义：aₙ₊₁ − aₙ = d（常数）。
通项：aₙ = a₁ + (n−1)d （aₙ 是 n 的一次函数）
等差中项：2A = x + y，A = (x+y)/2。
前 n 项和：Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = na₁ + n(n−1)d/2（倒序相加法）
通项：aₙ = a₁ + (n−1)d （aₙ 是 n 的一次函数）
等差中项：2A = x + y，A = (x+y)/2。
前 n 项和：Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = na₁ + n(n−1)d/2（倒序相加法）
常用性质：若 m + n = p + q，则 aₘ + aₙ = aₚ + a_q；Sₙ 是 n 的二次函数（无常数项），图像是抛物线上的点。
随堂检测4.2 小测
4.3 等比数列
概念按固定比例增长
定义：aₙ₊₁/aₙ = q（常数，q ≠ 0，各项非零）。
通项：aₙ = a₁·qⁿ⁻¹ （指数型增长）
等比中项：G² = xy，G = ±√(xy)（注意两个值！）。
前 n 项和：q ≠ 1 时 Sₙ = a₁(1 − qⁿ)/(1 − q)；q = 1 时 Sₙ = na₁（错位相减法）
通项：aₙ = a₁·qⁿ⁻¹ （指数型增长）
等比中项：G² = xy，G = ±√(xy)（注意两个值！）。
前 n 项和：q ≠ 1 时 Sₙ = a₁(1 − qⁿ)/(1 − q)；q = 1 时 Sₙ = na₁（错位相减法）
随堂检测4.3 小测
4.4 数学归纳法
概念多米诺骨牌式的证明
证明与正整数 n 有关的命题 P(n)：
① 奠基：证明 n = n₀（通常是 1）时 P(n₀) 成立；
② 归纳递推：假设 n = k（k ≥ n₀）时 P(k) 成立（归纳假设），证明 n = k+1 时 P(k+1) 也成立。
两步完成 ⇒ P(n) 对一切 n ≥ n₀ 成立。两步缺一不可：只奠基是"孤例"，只递推是"空中楼阁"。
① 奠基：证明 n = n₀（通常是 1）时 P(n₀) 成立；
② 归纳递推：假设 n = k（k ≥ n₀）时 P(k) 成立（归纳假设），证明 n = k+1 时 P(k+1) 也成立。
两步完成 ⇒ P(n) 对一切 n ≥ n₀ 成立。两步缺一不可：只奠基是"孤例"，只递推是"空中楼阁"。