第 五 章
三角函数
把角从"0° 到 360°"的束缚中解放出来，让它在单位圆上自由旋转，就得到了描述"周而复始"的数学语言——三角函数。摩天轮、潮汐、心跳、交流电……一切周期现象都是它的舞台。
5.1 任意角和弧度制
概念角可以转很多圈，也可以倒着转
任意角：一条射线绕端点旋转所成的图形。逆时针旋转为正角，顺时针为负角，不转为零角。
终边相同的角：β = α + k·360°（k ∈ Z）；象限角看终边落在第几象限（终边在坐标轴上时轴线角，不属于任何象限）。
终边相同的角：β = α + k·360°（k ∈ Z）；象限角看终边落在第几象限（终边在坐标轴上时轴线角，不属于任何象限）。
弧度制：长度等于半径的圆弧所对的圆心角为 1 弧度（rad）。180° = π rad，故 1° = π/180 rad。
弧长公式：l = αr（α 用弧度）； 扇形面积：S = ½lr = ½αr²
弧长公式：l = αr（α 用弧度）； 扇形面积：S = ½lr = ½αr²
| 度 | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 180° | 270° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 弧度 | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2π/3 | π | 3π/2 | 2π |
随堂检测5.1 小测
5.2 三角函数的概念
概念单位圆给出的定义
角 α 的终边与单位圆（半径为 1）交于点 P(x, y)，则：
sin α = y cos α = x tan α = y/x（x ≠ 0）
同角基本关系：sin²α + cos²α = 1（单位圆方程！）；tan α = sin α / cos α。
各象限符号：sin 看纵坐标（上正下负），cos 看横坐标（右正左负），tan 看两者之比（一、三象限正，二、四象限负）。
各象限符号：sin 看纵坐标（上正下负），cos 看横坐标（右正左负），tan 看两者之比（一、三象限正，二、四象限负）。
| α | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2π/3 | π | 3π/2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| sin α | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 | √3/2 | 0 | −1 |
| cos α | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | −1/2 | −1 | 0 |
| tan α | 0 | √3/3 | 1 | √3 | — | −√3 | 0 | — |
随堂检测5.2 小测
5.3 诱导公式
概念把任意角化为锐角三角函数
| 公式 | 角 | 正弦 | 余弦 | 本质（单位圆上的对称） |
|---|---|---|---|---|
| 一 | α + 2kπ | sin α | cos α | 转整数圈回到同一点 |
| 二 | π + α | −sin α | −cos α | P 关于原点对称 |
| 三 | −α | −sin α | cos α | P 关于 x 轴对称 |
| 四 | π − α | sin α | −cos α | P 关于 y 轴对称 |
口诀"函数名不变，符号看象限"：把 α 看成锐角，判断原角所在象限下原函数的符号。诱导公式能把任意角三角函数一步步化到 [0, π/2]。
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5.4 三角函数的图象与性质
概念三条曲线，一张对比表
| y = sin x | y = cos x | y = tan x | |
|---|---|---|---|
| 定义域 | R | R | x ≠ π/2 + kπ |
| 值域 | [−1, 1] | [−1, 1] | R |
| 周期 | 2π | 2π | π |
| 奇偶性 | 奇 | 偶 | 奇 |
| 单调增区间 | [−π/2+2kπ, π/2+2kπ] | [−π+2kπ, 2kπ] | (−π/2+kπ, π/2+kπ) |
正弦曲线的画法（五点法）：描 (0,0)、(π/2,1)、(π,0)、(3π/2,−1)、(2π,0) 五个关键点，再用光滑曲线连接。
随堂检测5.4 小测
5.5 三角恒等变换
概念和差角与二倍角
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β （源头公式）
由此出发可以推出一整族公式：
| 名称 | 公式 |
|---|---|
| 和角公式 | sin(α+β) = sin α cos β + cos α sin β； cos(α+β) = cos α cos β − sin α sin β |
| 差角公式 | sin(α−β) = sin α cos β − cos α sin β； cos(α−β) = cos α cos β + sin α sin β |
| 二倍角 | sin 2α = 2 sin α cos α； cos 2α = cos²α − sin²α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sin²α |
| 辅助角 | a sin x + b cos x = √(a²+b²) · sin(x + φ)，tan φ = b/a |
随堂检测5.5 小测
5.6 函数 y = Asin(ωx+φ)
概念三个参数，一次"变形"
y = A sin(ωx + φ)（A > 0, ω > 0）：
振幅 A（上下振动的幅度，值域变为 [−A, A]）； 周期 T = 2π/ω； 初相 φ（x = 0 时的相位）。
振幅 A（上下振动的幅度，值域变为 [−A, A]）； 周期 T = 2π/ω； 初相 φ（x = 0 时的相位）。
图象变换路径（由 y = sin x 出发）：
y = sin x ─ 左移φ(φ>0) ─→ y = sin(x+φ) ─ 横坐标×(1/ω) ─→ y = sin(ωx+φ) ─ 纵坐标×A ─→ y = A sin(ωx+φ)
易错：若先伸缩后平移，平移量是 |φ|/ω 而不是 |φ|——"先伸缩后平移，平移要除以 ω"。
随堂检测5.6 小测
5.7 三角函数的应用
概念简谐运动：圆周运动的"投影"
质点做匀速圆周运动时，它在直径上的投影做简谐运动，位移 y = A sin(ωt + φ)：A 是振幅，T = 2π/ω 是周期，f = 1/T = ω/2π 是频率，ωt + φ 是相位，φ 是初相。
建模板：读图定振幅 A → 由相邻最高点距离定周期 T（ω = 2π/T）→ 代入最高点定 φ。潮汐、摩天轮高度、交流电电压都是这个模型。