第 四 章
指数函数与对数函数
"一尺之棰，日取其半"是指数，"几次方能翻倍"是对数。本章把乘方扩展到实数指数，认识两个最重要的增长模型——指数爆炸与对数缓增，并学会用二分法逼出方程的近似解。
4.1 指数
概念从整数指数幂到实数指数幂
am/n = ⁿ√(aᵐ) （a > 0，m、n ∈ N*，n > 1）
| 名称 | 规定 | 例子 |
|---|---|---|
| 负整数指数幂 | a⁻ⁿ = 1/aⁿ | 2⁻³ = 1/8 |
| 正分数指数幂 | am/n = ⁿ√(aᵐ)（a>0, m,n∈N*, n>1） | 82/3 = ³√64 = 4 |
| 负分数指数幂 | a−m/n = 1 / ⁿ√(aᵐ) | 4−1/2 = 1/2 |
| 0 指数幂 | a⁰ = 1（a≠0） | (√2)⁰ = 1 |
有理数指数幂运算性质（a>0, b>0）：
① aʳ·aˢ = ar+s ② (aʳ)ˢ = ars ③ (ab)ʳ = aʳbʳ
① aʳ·aˢ = ar+s ② (aʳ)ˢ = ars ③ (ab)ʳ = aʳbʳ
感受指数爆炸：对折一张 0.1mm 的纸，对折 n 次厚度为 0.1 × 2ⁿ mm——对折 27 次就超过珠峰高度（约 13421 m）！
随堂检测4.1 小测
4.2 指数函数
概念y = aˣ（a > 0 且 a ≠ 1）
| a > 1（如 y = 2ˣ） | 0 < a < 1（如 y = (1/2)ˣ） | |
|---|---|---|
| 图象走向 | 从左到右上升 | 从左到右下降 |
| 单调性 | 在 R 上增 | 在 R 上减 |
| 过定点 | (0, 1) —— 一切指数函数的"大本营" | |
| 值域 | (0, +∞) —— x 轴是渐近线，图象永不碰到 x 轴 | |
底数与图象的关系：y = aˣ 与 y = (1/a)ˣ 的图象关于 y 轴对称（因为 (1/a)ˣ = a⁻ˣ）。在 y 轴右侧，"底大图高"。
随堂检测4.2 小测
4.3 对数
概念对数是指数的"反问"
aˣ = N ⇔ x = logaN （a > 0 且 a ≠ 1，N > 0）
"2 的多少次方等于 8？"答案就是对数 log₂8 = 3。常用对数 lg N = log₁₀N，自然对数 ln N = logeN（e ≈ 2.718）。
运算性质（M > 0, N > 0, a > 0 且 a ≠ 1）：
① loga(MN) = logaM + logaN （积的对数 = 对数的和）
② loga(M/N) = logaM − logaN
③ logaMⁿ = n·logaM （幂落下来）
换底公式：logab = logcb / logca，推论 logab · logba = 1
① loga(MN) = logaM + logaN （积的对数 = 对数的和）
② loga(M/N) = logaM − logaN
③ logaMⁿ = n·logaM （幂落下来）
换底公式：logab = logcb / logca，推论 logab · logba = 1
两个易错：loga(M+N) ≠ logaM + logaN；对数真数必须大于 0。
随堂检测4.3 小测
4.4 对数函数
概念y = logax（a > 0 且 a ≠ 1）
| a > 1 | 0 < a < 1 | |
|---|---|---|
| 单调性 | 在 (0, +∞) 上增 | 在 (0, +∞) 上减 |
| 过定点 | (1, 0) | |
| 定义域 / 值域 | (0, +∞) / R —— y 轴是渐近线 | |
与指数函数互为反函数：y = aˣ 与 y = logax 的图象关于直线 y = x 对称；互换 x、y 的角色。
随堂检测4.4 小测
4.5 函数的应用（二）
概念零点、二分法与增长比较
零点存在定理：若 f 在 [a, b] 上图象连续不断，且 f(a)·f(b) < 0（一正一负），则 f 在 (a, b) 内至少有一个零点——方程 f(x) = 0 在 (a,b) 内有解。
二分法：每次取中点，保留"两端异号"的那半段，区间每步缩小一半，直到长度小于精度 ε，用中点作为零点近似值。
增长速度：x 增大时，指数函数（a > 1）最终会超过任何幂函数 xᵅ，幂函数又超过对数函数——"指数爆炸 > 幂增长 > 对数缓增"。