本科课程 · 线性代数
线性代数
线性代数研究最简单也最普遍的运算——加法与数乘：向量、矩阵、方程组、变换、二次型都在这两条规则下运行。它是机器学习的骨架：神经网络的每一层就是一个矩阵乘法。
1 线性方程组与高斯消元
概念增广矩阵与初等行变换
高斯消元：对增广矩阵 (A | b) 施行初等行变换（交换、倍乘、倍加）化为行阶梯形——不改变解集。
解的判别（核心定理）：设 r = r(A)：
① r(A) = r(A|b) = n（未知数个数）⇒ 唯一解；
② r(A) = r(A|b) < n ⇒ 无穷多解（自由变量 n − r 个）；
③ r(A) < r(A|b) ⇒ 无解（出现 0 = 非零 矛盾行）。
齐次 Ax = 0 恒有零解；有非零解 ⇔ r(A) < n。
解的判别（核心定理）：设 r = r(A)：
① r(A) = r(A|b) = n（未知数个数）⇒ 唯一解；
② r(A) = r(A|b) < n ⇒ 无穷多解（自由变量 n − r 个）；
③ r(A) < r(A|b) ⇒ 无解（出现 0 = 非零 矛盾行）。
齐次 Ax = 0 恒有零解；有非零解 ⇔ r(A) < n。
2 矩阵及其运算
概念矩阵是"动作"，不只是数表
乘法 (AB)ᵢⱼ = Σₖ aᵢₖbₖⱼ——行乘列；不满足交换律 AB ≠ BA，也推不出 AB = 0 ⇒ A = 0 或 B = 0（有零因子）。
转置：(AB)ᵀ = BᵀAᵀ；逆：A⁻¹ 存在 ⇔ det A ≠ 0，(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹；
三大等价刻画（方阵 A 可逆 ⇔ 以下全部成立）：det A ≠ 0 ⇔ r(A) = n ⇔ Ax = 0 只有零解 ⇔ 列向量线性无关 ⇔ A 是满秩线性变换。
转置：(AB)ᵀ = BᵀAᵀ；逆：A⁻¹ 存在 ⇔ det A ≠ 0，(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹；
三大等价刻画（方阵 A 可逆 ⇔ 以下全部成立）：det A ≠ 0 ⇔ r(A) = n ⇔ Ax = 0 只有零解 ⇔ 列向量线性无关 ⇔ A 是满秩线性变换。
3 行列式
概念体积缩放因子
定义与性质：det A 按行/列展开；换行变号、某行乘 k 则 det 乘 k、两行成比例则为 0、某行加另一行的倍数不变。
几何意义：|det A| = A 把单位正方形（体）拉伸成的面积（体积）倍数；det < 0 还意味着翻转定向。
乘积公式 det(AB) = det A · det B；Cramer 法则（理论意义大于计算价值）。
几何意义：|det A| = A 把单位正方形（体）拉伸成的面积（体积）倍数；det < 0 还意味着翻转定向。
乘积公式 det(AB) = det A · det B；Cramer 法则（理论意义大于计算价值）。
4 向量组、秩与解的结构
概念线性相关与基础解系
线性相关：存在不全为零的系数使 Σkᵢαᵢ = 0 ⇔ 某向量可由其余表示。
极大无关组所含向量个数 = 秩 r(A)——矩阵的"真实维数"，行变换不变。
解的结构定理：非齐次通解 = 特解 + 齐次通解；齐次解集是 n − r 维子空间，其基叫基础解系。
三向量共线/共面、四向量共体是三维情形的几何直觉。
极大无关组所含向量个数 = 秩 r(A)——矩阵的"真实维数"，行变换不变。
解的结构定理：非齐次通解 = 特解 + 齐次通解；齐次解集是 n − r 维子空间，其基叫基础解系。
三向量共线/共面、四向量共体是三维情形的几何直觉。
随堂检测方程组 · 矩阵 · 秩
5 线性空间与线性变换
概念变换 = 矩阵，矩阵 = 变换
线性映射：T(α + β) = Tα + Tβ，T(kα) = kTα。取定基后，线性映射 ↔ 矩阵一一对应（坐标列的作用）。
核与像：ker T（映到 0 的向量，维数 = n − r）与 im T（像空间，维数 = r）——"没被看见的"与"被照亮的"两个子空间。
常见变换：旋转 θ：[[cosθ, −sinθ],[sinθ, cosθ]]；剪切；伸缩；投影（降维，不可逆）；镜面反射。
核与像：ker T（映到 0 的向量，维数 = n − r）与 im T（像空间，维数 = r）——"没被看见的"与"被照亮的"两个子空间。
常见变换：旋转 θ：[[cosθ, −sinθ],[sinθ, cosθ]]；剪切；伸缩；投影（降维，不可逆）；镜面反射。
6 特征值、特征向量与对角化
概念矩阵的"固有方向"
定义：Av = λv（v ≠ 0）——变换后不离开原所在直线的方向。
求法：解特征方程 det(λI − A) = 0（λ² − tr·λ + det = 0，二阶情形）；
重要关系：Σλᵢ = tr（迹），Πλᵢ = det；Aᵏ = PΛᵏP⁻¹（对角化后幂运算飞快）。
可对角化条件：n 个线性无关特征向量 ⇔ 每个特征值的几何重数 = 代数重数。实对称矩阵必可正交对角化，特征值全为实数，不同特征值的特征向量正交。
求法：解特征方程 det(λI − A) = 0（λ² − tr·λ + det = 0，二阶情形）；
重要关系：Σλᵢ = tr（迹），Πλᵢ = det；Aᵏ = PΛᵏP⁻¹（对角化后幂运算飞快）。
可对角化条件：n 个线性无关特征向量 ⇔ 每个特征值的几何重数 = 代数重数。实对称矩阵必可正交对角化，特征值全为实数，不同特征值的特征向量正交。
随堂检测特征值
7 二次型
概念标准形与正定性
二次型 f = xᵀAx（A 对称）。主轴定理：正交变换 x = Qy 化为标准形 λ₁y₁² + λ₂y₂²（λᵢ 为特征值）。
正定 ⇔ 所有特征值 > 0 ⇔ 顺序主子式全大于 0 ⇔ f(x) > 0 对一切 x ≠ 0（几何：f = 1 是椭球/椭圆）。
惯性定理：正负惯性指数在合同变换下不变。
正定 ⇔ 所有特征值 > 0 ⇔ 顺序主子式全大于 0 ⇔ f(x) > 0 对一切 x ≠ 0（几何：f = 1 是椭球/椭圆）。
惯性定理：正负惯性指数在合同变换下不变。
8 内积与正交
概念Schmidt 正交化与正交矩阵
Schmidt 正交化：β₁ = α₁；β₂ = α₂ − (α₂·β₁)/(β₁·β₁) · β₁；再单位化得标准正交组——"减掉投影，留下垂直分量"。
正交矩阵 Q：QᵀQ = I ⇔ 列向量标准正交；保内积、保长度（刚体旋转/反射）。
应用：最小二乘（法方程 AᵀAx = Aᵀb）、QR 分解、傅里叶基的正交性。
正交矩阵 Q：QᵀQ = I ⇔ 列向量标准正交；保内积、保长度（刚体旋转/反射）。
应用：最小二乘（法方程 AᵀAx = Aᵀb）、QR 分解、傅里叶基的正交性。