本科课程 · 微积分(Ⅱ)
级数与多元微积分
从"一根数轴"走向"一张曲面、一个空间"：级数把无穷多项加成一个数，傅里叶把任何信号拆成正弦波的叠加，梯度指出坡面最陡的方向，重积分称量曲顶柱体的体积。
1 数项级数
概念无穷求和的定义是极限
级数 Σaₙ 的和定义为部分和数列 Sₙ = a₁+…+aₙ 的极限：lim Sₙ 存在 ⇒ 收敛。
必要条件：收敛 ⇒ aₙ → 0（aₙ ↛ 0 必发散；反之不然：调和级数 Σ1/n 发散但 1/n → 0）。
正项级数判别：① 比较判别法（与 p 级数比）；② 比值法 lim aₙ₊₁/aₙ = ρ < 1 收敛；③ 根值法 lim ⁿ√aₙ = ρ < 1。
交错级数（莱布尼茨）：aₙ 单调减趋于 0 ⇒ Σ(−1)ⁿ⁺¹aₙ 收敛，且余项 |Rₙ| ≤ aₙ₊₁。
绝对收敛（Σ|aₙ| 收敛）⇒ 条件收敛级数本身收敛。
必要条件：收敛 ⇒ aₙ → 0（aₙ ↛ 0 必发散；反之不然：调和级数 Σ1/n 发散但 1/n → 0）。
正项级数判别：① 比较判别法（与 p 级数比）；② 比值法 lim aₙ₊₁/aₙ = ρ < 1 收敛；③ 根值法 lim ⁿ√aₙ = ρ < 1。
交错级数（莱布尼茨）：aₙ 单调减趋于 0 ⇒ Σ(−1)ⁿ⁺¹aₙ 收敛，且余项 |Rₙ| ≤ aₙ₊₁。
绝对收敛（Σ|aₙ| 收敛）⇒ 条件收敛级数本身收敛。
随堂检测数项级数
2 幂级数
概念函数的无穷多项式
阿贝尔定理：Σaₙxⁿ 若在 x₀ ≠ 0 收敛，则对 |x| < |x₀| 绝对收敛 ⇒ 存在收敛半径 R。
柯西-阿达马公式：R = 1 / lim ⁿ√|aₙ|（或 R = lim |aₙ/aₙ₊₁|），|x| < R 绝对收敛，|x| > R 发散，端点单独讨论。
幂级数在收敛区间内可逐项求导、逐项积分（收敛半径不变）——求和函数的利器。
柯西-阿达马公式：R = 1 / lim ⁿ√|aₙ|（或 R = lim |aₙ/aₙ₊₁|），|x| < R 绝对收敛，|x| > R 发散，端点单独讨论。
幂级数在收敛区间内可逐项求导、逐项积分（收敛半径不变）——求和函数的利器。
常用展开（与泰勒公式一致）：1/(1−x) = Σxⁿ（R=1）；eˣ、sin x、cos x（R=∞）；ln(1+x) = Σ(−1)ⁿ⁺¹xⁿ/n（R=1，右端点收敛）；arctan x = Σ(−1)ⁿx^(2n+1)/(2n+1)。
3 傅里叶级数
概念任何信号都是正弦波之和
周期 2π 的函数：f(x) ~ a₀/2 + Σ(aₖcos kx + bₖsin kx)
系数公式（正交性）：aₖ = (1/π)∫₋π^π f cos kx dx，bₖ = (1/π)∫₋π^π f sin kx dx
收敛定理（狄利克雷）：f 分段光滑 ⇒ 傅里叶级数处处收敛，收敛到 [f(x⁺)+f(x⁻)]/2（间断点收敛到左右极限的平均）。
系数公式（正交性）：aₖ = (1/π)∫₋π^π f cos kx dx，bₖ = (1/π)∫₋π^π f sin kx dx
收敛定理（狄利克雷）：f 分段光滑 ⇒ 傅里叶级数处处收敛，收敛到 [f(x⁺)+f(x⁻)]/2（间断点收敛到左右极限的平均）。
吉布斯现象：在跳跃间断点附近，部分和总是"过冲"约 9%（不随 N 增大消失，但过冲宽度 → 0）。下方实验室可以直接量出这个 9%。
4 多元函数微分学
概念偏导、全微分、梯度
偏导数：∂f/∂x = 固定其他变量对 x 求导。
可微：Δf = f_x Δx + f_y Δy + o(ρ)。偏导连续 ⇒ 可微；偏导存在推不出可微、更推不出连续（各方向切割 vs 整体线性逼近）。
梯度：∇f = (f_x, f_y)——方向导数最大的方向，最大值 |∇f|；沿等值线方向方向导数为 0。
链式法则：z = f(u,v)，u = u(x,y) ⇒ ∂z/∂x = f_u u_x + f_v v_x。
可微：Δf = f_x Δx + f_y Δy + o(ρ)。偏导连续 ⇒ 可微；偏导存在推不出可微、更推不出连续（各方向切割 vs 整体线性逼近）。
梯度：∇f = (f_x, f_y)——方向导数最大的方向，最大值 |∇f|；沿等值线方向方向导数为 0。
链式法则：z = f(u,v)，u = u(x,y) ⇒ ∂z/∂x = f_u u_x + f_v v_x。
随堂检测多元微分
5 多元极值与条件极值
定理无条件与拉格朗日乘数法
无条件极值：驻点 f_x = f_y = 0；判别：AC − B² > 0 且 A > 0 极小（A < 0 极大）；AC − B² < 0 鞍点；= 0 失效需另判。
条件极值（拉格朗日乘数法）：求 f 在约束 g = 0 下的极值 ⇔ 解 ∇f = λ∇g, g = 0。几何：最优点处等值线与约束曲线相切（梯度共线）。λ 的意义：约束放宽一个单位时目标值的改变率（影子价格）。
条件极值（拉格朗日乘数法）：求 f 在约束 g = 0 下的极值 ⇔ 解 ∇f = λ∇g, g = 0。几何：最优点处等值线与约束曲线相切（梯度共线）。λ 的意义：约束放宽一个单位时目标值的改变率（影子价格）。
6 重积分
概念二重积分与累次积分
定义：∬_D f dA = lim Σ f(ξᵢ,ηᵢ)Δσᵢ（分割-取点-求和-取极限）。
计算（化为累次积分）：直角坐标 X 型：∬ = ∫ₐᵇdx∫_{y₁(x)}^{y₂(x)} f dy；极坐标：dA = r dr dθ（别忘了雅可比 r！）。
交换积分次序是常考技巧：先画区域 D 再换序。
计算（化为累次积分）：直角坐标 X 型：∬ = ∫ₐᵇdx∫_{y₁(x)}^{y₂(x)} f dy；极坐标：dA = r dr dθ（别忘了雅可比 r！）。
交换积分次序是常考技巧：先画区域 D 再换序。
7 曲线积分与格林公式
定理边界的积分 = 内部的积分
第一型（对弧长）：∫_L f ds = ∫ₐᵇ f(x(t),y(t))·√(x′²+y′²) dt——与方向无关。
第二型（对坐标）：∫_L P dx + Q dy——与方向有关；物理意义：变力沿曲线做功。
格林公式：闭曲线 L 取正向（逆时针）时 ∮_L P dx + Q dy = ∬_D (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dA
推论：面积公式 S = ½∮(x dy − y dx)。它是斯托克斯公式（三维）的特例，也是有限元、流体涡量的源头。
第二型（对坐标）：∫_L P dx + Q dy——与方向有关；物理意义：变力沿曲线做功。
格林公式：闭曲线 L 取正向（逆时针）时 ∮_L P dx + Q dy = ∬_D (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dA
推论：面积公式 S = ½∮(x dy − y dx)。它是斯托克斯公式（三维）的特例，也是有限元、流体涡量的源头。
8 常微分方程
概念解方程 = 找函数
一阶可分离：y′ = f(x)g(y) ⇒ ∫dy/g(y) = ∫f(x)dx + C。
一阶线性：y′ + p(x)y = q(x) ⇒ 通解 y = e^{−∫p}(∫q e^{∫p}dx + C)（常数变易法）。
二阶常系数线性：y″ + ay′ + by = 0，特征方程 r² + ar + b = 0：两异实根 C₁e^{r₁x}+C₂e^{r₂x}；重根 (C₁+C₂x)e^{rx}；共轭复根 α±βi ⇒ e^{αx}(C₁cos βx + C₂sin βx)。
一阶线性：y′ + p(x)y = q(x) ⇒ 通解 y = e^{−∫p}(∫q e^{∫p}dx + C)（常数变易法）。
二阶常系数线性：y″ + ay′ + by = 0，特征方程 r² + ar + b = 0：两异实根 C₁e^{r₁x}+C₂e^{r₂x}；重根 (C₁+C₂x)e^{rx}；共轭复根 α±βi ⇒ e^{αx}(C₁cos βx + C₂sin βx)。