第十章 · 必修第二册

概率

随机现象背后藏着确定的规律。本章建立样本空间与古典概型，认识互斥、对立与相互独立事件，并通过大量重复实验亲眼见证：频率稳定于概率。

10.1 随机事件与概率

样本空间 Ω：一次试验所有可能结果的集合。
古典概型：① 样本点有限个；② 每个样本点等可能。则 P(A) = 事件 A 包含的样本点数 / 样本点总数。

对立必互斥，互斥未必对立。"至少一个"的对立面是"一个也没有"——求"至少"型概率常用对立事件：P(至少一个) = 1 − P(都没有)。

6×6 = 36 个样本点全部铺开。选择一个事件，属于它的格子被点亮；再实际投掷验证频率是否逼近理论概率：

注意"和为 7"有 6 个样本点（最多）、"和为 2"和"和为 12"各只有 1 个——为什么中间的和更容易出现？数一数格子就明白了。

定义：若 P(AB) = P(A)·P(B)，则 A 与 B 相互独立——A 是否发生不影响 B 发生的概率。
独立时：P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A)P(B)；
A 与 B、A 与 B̄、Ā 与 B、Ā 与 B̄ 成对独立。

典型模型：有放回抽取、甲乙各自射击、两台独立运转的机器。注意：互斥（不能同时发生）与独立（互不影响）是两个完全不同的概念——互斥事件恰是"高度不独立"的。

频率 f = 频数/试验次数：随试验次数增多，频率在概率附近摆动并趋于稳定（大数定律的思想）。
概率 P(A) 是确定的常数（0 ≤ P ≤ 1）；频率是随机的、变化的。概率提供了频率的理论中心。