第一章 · 选择性必修第一册

空间向量与立体几何

把平面向量搬到空中：基底变成三个，坐标变成三维。最迷人的是法向量——找到它，线面角、二面角、距离统统变成"套公式算数"，立体几何从"瞪眼找辅助线"变成"机械计算"。

1.1 空间向量及其运算

概念平面向量的"升维"

数量积：a·b = |a||b|cos θ，θ ∈ [0°, 180°]。结果仍是实数。
平行（共线）：a = λb（b ≠ 0）；　垂直：a·b = 0。
模：|a| = √(a·a)。
运算律与平面向量相同：交换律、数乘分配律成立；(a·b)·c 型"结合"无意义。

共线向量（方向相同或相反）与共面向量（平移后能落在同一平面内）是空间特有的概念：平行向量一定共面，共面向量未必平行。

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1.2 空间向量基本定理

概念三个不共面的向量撑起整个空间

空间向量基本定理：若 e₁、e₂、e₃ 不共面，则空间任意向量 p 存在唯一表示
p = x e₁ + y e₂ + z e₃，{e₁, e₂, e₃} 叫空间的一组基底。
特别的，取两两垂直的单位向量 i、j、k（标准正交基），就得到直角坐标系。

推论（四点共面的判定）：点 P 在平面 ABC 内 ⇔ 存在实数 x、y 使 AP = x·AB + y·AC（且 x + y ≤ 1 时在三角形内——重心坐标思想的雏形）。

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1.3 空间向量的坐标表示

概念三维坐标运算全家桶

设 a = (x₁, y₁, z₁)，b = (x₂, y₂, z₂)：
加减：a ± b = (x₁±x₂, y₁±y₂, z₁±z₂)　数乘：λa = (λx₁, λy₁, λz₁)
数量积：a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂　模：|a| = √(x₁² + y₁² + z₁²)
夹角：cos θ = (x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂) / (|a||b|)
平行：a ∥ b ⇔ x₁ = λx₂, y₁ = λy₂, z₁ = λz₂　垂直：a ⊥ b ⇔ a·b = 0

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1.4 空间向量的应用

概念法向量：一把万能钥匙

直线的方向向量 u：与直线平行的非零向量。
平面的法向量 n：与平面内所有直线垂直的向量。求法：在平面内取两个不共线向量 a、b，解方程组 n·a = 0 且 n·b = 0（令一个坐标为 1 即可）。

问题	向量公式	注意
线线角	cos φ = \|cos ⟨u₁, u₂⟩\|	异面直线所成角 ∈ (0°, 90°]
线面角	sin φ = \|cos ⟨u, n⟩\|	是 sin 不是 cos！φ ∈ [0°, 90°]
二面角	cos φ = ±cos ⟨n₁, n₂⟩	符号看图（法向量朝向）
点到面的距离	d = \|AP·n\| / \|n\|	投影向量的长度

操作法向量与线面角计算器 ⭐（正方体场景）

棱长 2 的正方体 ABCD−A₁B₁C₁D₁。选择一条体对角线/面对角线，程序自动求底面法向量并演示"sin φ = |cos⟨u, n⟩|"的全过程（可拖转）：

三个场景的答案都是特殊角：35.26°（arcsin √3/3 ≈ 35.3°）、45°、54.7°（arccos √3/3）。它们是正方体问题里最常出现的三个角，值得记住。