第 二 章 · 选择性必修第一册
直线和圆的方程
解析几何的核心思想：用坐标把"形"翻译成"数"——直线变成一次方程，圆变成二次方程，位置关系变成判别式与距离的计算。全章的钥匙是：斜率 k = tan α 与点到直线距离公式。
2.1 直线的倾斜角与斜率
概念用角度和比值刻画"方向"
倾斜角 α：x 轴正向与直线向上方向所成的角，范围 [0°, 180°)。
斜率：k = tan α（α ≠ 90°）。两点式：k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)。
α = 90°（垂直 x 轴）时斜率不存在！
斜率：k = tan α（α ≠ 90°）。两点式：k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)。
α = 90°（垂直 x 轴）时斜率不存在！
| α | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| k | 0 | √3/3 | 1 | √3 | 不存在 | −√3 | −1 | −√3/3 |
易错：倾斜角是 90° 时不能用 k = tanα；比较"谁更陡"要看 |k| 大小，斜率为负的直线倾斜角是钝角。
随堂检测2.1 小测
2.2 直线的方程
概念五种形式，各有适用场景
| 名称 | 方程 | 局限 |
|---|---|---|
| 点斜式 | y − y₀ = k(x − x₀) | 不能表示垂直 x 轴的直线 |
| 斜截式 | y = kx + b | 同上（b 为 y 轴截距） |
| 两点式 | (y−y₁)/(y₂−y₁) = (x−x₁)/(x₂−x₁) | 不能表示垂直/水平线 |
| 截距式 | x/a + y/b = 1 | 不能表示过原点及垂直线 |
| 一般式 | Ax + By + C = 0（A、B 不同时为 0） | 能表示所有直线 |
随堂检测2.2 小测
2.3 直线的交点坐标与距离公式
概念距离与位置判定
两点间距离：|P₁P₂| = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
点到直线距离：d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
两平行线距离：d = |C₁ − C₂| / √(A² + B²)（先化为 A、B 相同！）
点到直线距离：d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
两平行线距离：d = |C₁ − C₂| / √(A² + B²)（先化为 A、B 相同！）
两直线位置关系：k₁ ≠ k₂ 相交；k₁ = k₂ 且 b₁ ≠ b₂ 平行；k₁·k₂ = −1 垂直；k₁ = k₂ 且 b₁ = b₂ 重合。
随堂检测2.3 小测
2.4 圆的方程
概念标准式与一般式
标准方程：(x − a)² + (y − b)² = r² 圆心 (a, b)，半径 r
一般方程：x² + y² + Dx + Ey + F = 0 （条件：D² + E² − 4F > 0）
互化：配方。一般式圆心 (−D/2, −E/2)，半径 ½√(D² + E² − 4F)。D² + E² − 4F = 0 时退化为一个点；< 0 时无轨迹（不是圆）。
随堂检测2.4 小测
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
概念d 与 r 的对话
| 关系 | 判定（d 为圆心到直线/圆心距） |
|---|---|
| 直线与圆：相离 / 相切 / 相交 | d > r ｜ d = r ｜ d < r |
| 相交弦长 | 弦 = 2√(r² − d²) |
| 圆与圆：外离 / 外切 / 相交 / 内切 / 内含 | d > R+r ｜ d = R+r ｜ |R−r| < d < R+r ｜ d = |R−r| ｜ d < |R−r| |
几何法 vs 代数法：位置关系优先用 d 与 r（几何法，简洁）；求交点时才联立方程（代数法）。切线的关键性质：切线垂直于过切点的半径。