第 三 章 · 选择性必修第一册
圆锥曲线的方程
用平面去切圆锥：切出椭圆、双曲线、抛物线。它们的定义都源于"距离"——和为定值、差为定值、到一点与到一条线相等。离心率 e 把三兄弟排成一列：e<1 椭圆，e=1 抛物线，e>1 双曲线。
3.1 椭圆
概念到两焦点距离之和为定值
定义：|PF₁| + |PF₂| = 2a（常数）且 2a > |F₁F₂| = 2c。
标准方程：x²/a² + y²/b² = 1（焦点在 x 轴，a > b > 0），其中 b² = a² − c²；焦点在 y 轴时 x、y 互换。
离心率：e = c/a ∈ (0, 1)——e 越小越圆，越接近 1 越扁。
长轴 2a、短轴 2b、焦距 2c；顶点 (±a, 0)、(0, ±b)。
标准方程：x²/a² + y²/b² = 1（焦点在 x 轴，a > b > 0），其中 b² = a² − c²；焦点在 y 轴时 x、y 互换。
离心率：e = c/a ∈ (0, 1)——e 越小越圆，越接近 1 越扁。
长轴 2a、短轴 2b、焦距 2c；顶点 (±a, 0)、(0, ±b)。
随堂检测3.1 小测
3.2 双曲线
概念到两焦点距离之差为定值
定义：||PF₁| − |PF₂|| = 2a（常数）且 2a < 2c。
标准方程：x²/a² − y²/b² = 1（焦点在 x 轴），其中 c² = a² + b²（注意是加号！）。
渐近线：y = ±(b/a)x——双曲线无限接近但永不相交。
离心率：e = c/a > 1，e 越大开口越阔。
标准方程：x²/a² − y²/b² = 1（焦点在 x 轴），其中 c² = a² + b²（注意是加号！）。
渐近线：y = ±(b/a)x——双曲线无限接近但永不相交。
离心率：e = c/a > 1，e 越大开口越阔。
随堂检测3.2 小测
3.3 抛物线
概念到焦点 = 到准线
定义：到定点 F（焦点）与到定直线 l（准线）距离相等的点的轨迹。
标准方程：y² = 2px（p > 0）：焦点 F(p/2, 0)，准线 x = −p/2，开口向右。
离心率 e = 1。四种开口方向对应四个标准方程（y² = ±2px、x² = ±2py）。
标准方程：y² = 2px（p > 0）：焦点 F(p/2, 0)，准线 x = −p/2，开口向右。
离心率 e = 1。四种开口方向对应四个标准方程（y² = ±2px、x² = ±2py）。