第三章

函数的概念与性质

从本章起，"函数"不再是一个式子，而是两个非空数集之间的一种对应关系。你会学到描述函数性质的三把尺子——单调性、奇偶性、最值，并把它们用到幂函数和实际问题中。

3.1 函数的概念及其表示

设 A、B 是非空的数集，如果按某个对应关系 f，使 A 中的任意数 x，在 B 中都有唯一确定的数 f(x) 与之对应，就称 f : A → B 为从 A 到 B 的一个函数，记作 y = f(x), x ∈ A。其中 x 的取值范围 A 叫定义域，函数值的集合叫值域。

函数三要素：定义域、对应关系、值域。两个函数相同 ⇔ 定义域和对应关系完全一致（值域由前两者决定）。判断"同一函数"时，先化简再比较两要素。

区间记法：[a, b] 闭区间、(a, b) 开区间、[a, +∞) 等；实数集 R 记作 (−∞, +∞)。

常见定义域限制：分母 ≠ 0；偶次根号下 ≥ 0；(x)⁰ 中 x ≠ 0；实际问题的实际意义。

单调性（"任意"两字值千金）：对区间 D 内任意 x₁ < x₂，都有 f(x₁) < f(x₂)，则 f 在 D 上单调递增（图象上升）；反之 f(x₁) > f(x₂) 为递减。
⚠️ 验证单调性必须用"任意取点作差"，举一个特例不算证明。

奇偶性（前提：定义域关于原点对称）：
偶函数：f(−x) = f(x)，图象关于 y 轴对称（如 x²、|x|）；
奇函数：f(−x) = −f(x)，图象关于原点对称（如 x³、1/x）。

最大/最小值：f 在定义域内存在 x₀，使任意 x 都有 f(x) ≤ f(x₀)，则 f(x₀) 为最大值。二次函数的最值在顶点处（注意定义域限制！）。

任取两点 x₁、x₂（x₁ < x₂），比较 f(x₁) 与 f(x₂) 的高低——绿色连线上升 ⇒ 增，红色下降 ⇒ 减。换不同函数、不同区间试试：

选 y = x³ − 3x，把两点都放在 (−1, 1) 内——这是它的递减区间；放到两侧试试。注意 y = 1/x 在整个定义域上并不单调递减，只能在 (−∞,0) 与 (0,+∞) 上分别递减。

幂函数：y = xᵅ（α 为常数）。幂的底数是自变量——这是它与指数函数 y = aˣ（底数 constant、指数是自变量）的本质区别。

五个必会幂函数：y = x、y = x²、y = x³、y = x^1/2、y = x⁻¹。共同点：图象都过 (1, 1)；α > 0 时在 (0, +∞) 上递增，α < 0 时递减且以坐标轴为渐近线。

函数	定义域	奇偶性	(0,+∞) 单调性
y = x	R	奇	增
y = x²	R	偶	增
y = x³	R	奇	增
y = x^1/2	[0, +∞)	非奇非偶（定义域不对称）	增
y = x⁻¹	x ≠ 0	奇	减

建模四步：设变量 → 列函数 → 定定义域 → 求最值/解答。常用模型：一次（匀速变化）、二次（抛物/最大最小）、幂函数、分段函数。

二次函数最值模板：y = ax² + bx + c = a(x + b/2a)² + (4ac − b²)/4a，a < 0 时在顶点 x = −b/2a 取最大值。实际问题中务必检查顶点是否落在定义域内，否则最值在端点取得。