第 六 章 · 必修第二册
平面向量及其应用
向量是"带方向的数"——它让几何问题变成代数运算。本章从向量的概念与运算入手，建立基底与坐标两套语言，最后用正弦定理、余弦定理解三角形，把向量变成解决几何与物理问题的利器。
6.1 平面向量的概念
概念既有大小，又有方向
向量是具有大小和方向的量，用有向线段 AB（起点 A 指向终点 B）或黑体字母 a 表示。线段 AB 的长度叫向量的模，记作 |AB|。
特殊向量：
① 零向量 0：长度为 0，方向任意（约定与任何向量平行）；
② 单位向量：长度为 1 的向量（方向可各不相同——"单位向量都相等"是错的！）；
③ 相等向量：长度相等且方向相同（与起点位置无关）；
④ 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。
① 零向量 0：长度为 0，方向任意（约定与任何向量平行）；
② 单位向量：长度为 1 的向量（方向可各不相同——"单位向量都相等"是错的！）；
③ 相等向量：长度相等且方向相同（与起点位置无关）；
④ 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。
易错：|a| = |b| 推不出 a = b（方向可能不同）；向量可以平移，自由向量与位置无关。
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6.2 平面向量的运算
概念加减、数乘与数量积
| 运算 | 法则 | 要点 |
|---|---|---|
| 加法 | 三角形法则（首尾相接）/ 平行四边形法则（共起点） | 和向量从起点指向终点 |
| 减法 | a − b = a + (−b) | 共起点时，差向量指向被减数 |
| 数乘 λa | |λ| 倍长度；λ>0 同向，λ<0 反向 | λa 与 a 共线 |
| 数量积 | a·b = |a||b|cos θ | 结果是数量不是向量！θ 为夹角 |
数量积性质：a⊥b ⇔ a·b = 0；a·a = |a|²；投影 = |b|cosθ（b 在 a 方向上的投影长度）。运算律：交换律成立，分配律成立，但结合律不成立（(a·b)·c 无意义）。
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6.3 平面向量基本定理及坐标表示
概念基底分解与坐标运算
平面向量基本定理：若 e₁、e₂ 是同一平面内不共线的两个向量，则任意向量 a 都可表示为 a = λ₁e₁ + λ₂e₂，且表示方式唯一。{e₁, e₂} 称为一组基底。
取标准正交基 i、j，就得坐标：a = (x, y)。坐标运算：
a + b = (x₁+x₂, y₁+y₂)； λa = (λx, λy)； a·b = x₁x₂ + y₁y₂
两个重要公式：
模：|a| = √(x² + y²)； 夹角：cos θ = (x₁x₂ + y₁y₂) / (√(x₁²+y₁²) · √(x₂²+y₂²))
共线判定：a ∥ b ⇔ x₁y₂ − x₂y₁ = 0
模：|a| = √(x² + y²)； 夹角：cos θ = (x₁x₂ + y₁y₂) / (√(x₁²+y₁²) · √(x₂²+y₂²))
共线判定：a ∥ b ⇔ x₁y₂ − x₂y₁ = 0
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6.4 平面向量的应用 · 解三角形
概念正弦定理与余弦定理
余弦定理：a² = b² + c² − 2bc·cos A （A 为边 a 的对角）
正弦定理：asin A = bsin B = csin C = 2R（R 为外接圆半径）
选型口诀：已知"两边夹角"(SAS) 或三边(SSS) → 余弦定理；已知"两角一边"(AAS/ASA) 或两边对角(SSA，注意多解) → 正弦定理。面积公式：S = ½ab·sin C。