第 七 章 · 必修第二册
复数
方程 x² = −1 在实数范围内无解——于是数学家创造了 i。本章认识虚数单位与复数 z = a + bi，在复平面上把它们看成点与向量，并揭示复数乘法的几何本质：旋转与缩放。
7.1 复数的概念
概念i² = −1
虚数单位 i 满足 i² = −1，实数与它进行四则运算时保持原有的加乘运算律。形如 z = a + bi（a, b ∈ R）的数叫复数，a 为实部，b 为虚部。
| 分类（b 为虚部） | 条件 | 例子 |
|---|---|---|
| 实数 | b = 0 | 3, 0, −1.5 |
| 虚数 | b ≠ 0 | 2 + i, 3i |
| 纯虚数 | a = 0 且 b ≠ 0 | i, −5i |
三个工具：
① 复数相等：a + bi = c + di ⇔ a = c 且 b = d（实部虚部分别相等）；
② 共轭复数：z̄ = a − bi（实部相同、虚部相反，复平面上关于实轴对称）；
③ 模：|z| = √(a² + b²)（复平面上到原点的距离）。
① 复数相等：a + bi = c + di ⇔ a = c 且 b = d（实部虚部分别相等）；
② 共轭复数：z̄ = a − bi（实部相同、虚部相反，复平面上关于实轴对称）；
③ 模：|z| = √(a² + b²)（复平面上到原点的距离）。
复平面：横轴为实轴、纵轴为虚轴，复数 z = a + bi 对应点 Z(a, b)——复数、点、向量三位一体。
随堂检测7.1 小测
7.2 复数的四则运算
概念像多项式一样乘，像根号一样除
(a + bi) ± (c + di) = (a±c) + (b±d)i
(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
除法：分子分母同乘分母的共轭（分母"实数化"）：
a + bic + di = (a + bi)(c − di)c² + d²
a + bic + di = (a + bi)(c − di)c² + d²
几何意义：加减法就是向量的加减（平行四边形法则）；乘法是旋转 + 缩放（见下方实验室）。
易错：两个虚数不能比较大小（"3i > 2i"无意义）；模是实数可以比较。i 的幂具有周期性：i¹=i，i²=−1，i³=−i，i⁴=1，周期为 4。
随堂检测7.2 小测
7.3 复数的三角表示（选学）
概念z = r(cos θ + i sin θ)
z = r(cos θ + i sin θ)，r = |z| > 0，θ 为辐角（[0, 2π) 内取辐角主值）
三角形式下乘除运算：
r₁(cosθ₁ + isinθ₁) · r₂(cosθ₂ + isinθ₂) = r₁r₂[cos(θ₁+θ₂) + isin(θ₁+θ₂)] —— 模相乘，辐角相加；
除法：模相除，辐角相减。这正是"乘法 = 旋转 + 缩放"的代数表达。
r₁(cosθ₁ + isinθ₁) · r₂(cosθ₂ + isinθ₂) = r₁r₂[cos(θ₁+θ₂) + isin(θ₁+θ₂)] —— 模相乘，辐角相加；
除法：模相除，辐角相减。这正是"乘法 = 旋转 + 缩放"的代数表达。