第八章 · 必修第二册

立体几何初步

从平面走向空间。先认识棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球七员大将，学会画直观图、算体积；再建立空间中点、线、面的位置关系体系，掌握平行与垂直两大判定与性质定理论证。下方所有 3D 图形都可以拖动旋转！

8.1 基本立体图形

概念多面体与旋转体

图形	特征	记法示例
棱柱	两底面互相平行且全等，侧棱平行且相等	三棱柱 ABC−A₁B₁C₁
棱锥	一个底面（多边形），侧面都是三角形，共顶点	四棱锥 S−ABCD
棱台	棱锥被平行于底面的平面截去锥顶所得	四棱台 ABCD−A′B′C′D′
圆柱 / 圆锥 / 圆台	矩形 / 直角三角形 / 直角梯形绕一边旋转而成	轴、母线、底面圆
球	半圆绕直径旋转一周；球面上点到球心距离恒为 R	球 O，半径 R

顶点数 V、棱数 E、面数 F 满足欧拉公式：V − E + F = 2（简单多面体）。例如三棱柱：6 − 9 + 5 = 2。

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8.2 立体图形的直观图

概念斜二测画法

斜二测画法规则：
① 建系：x' 轴水平，y' 轴与 x' 轴成 45°（或 135°）；
② 平行性不变：原图中平行的线，直观图中仍平行；
③ 横不变、纵减半：平行于 x' 轴的长度不变，平行于 y' 轴的长度变为原来的一半。

例如正方形 OABC（边长 a）的直观图是平行四边形：横向边长 a，斜向边长 a/2 且成 45°。圆的直观图是椭圆（用模板近似画）。

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8.3 立体图形的表面积与体积

概念柱、锥、台、球公式表

图形	侧面积 / 表面积	体积
棱柱 / 圆柱	S侧 = 底面周长 × 高（圆柱 2πrh）；S表 = S侧 + 2S底	V = S底 × h（圆柱 πr²h）
棱锥 / 圆锥	圆柱无此项；圆锥 S侧 = πrl（l 母线），S表 = πr² + πrl	V = ⅓ S底 × h（圆锥 ⅓πr²h）
棱台 / 圆台	圆台 S侧 = π(r₁ + r₂)l	V = ⅓h(S + √(SS′) + S′)
球	S = 4πR²	V = 4/3 πR³

锥与柱的关系：等底面积、等高的锥体积是柱的 1/3。台体公式可看作"大锥减小锥"的产物；当上底 S′ → S 时退化为柱，S′ → 0 时退化为锥。

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8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系

概念平面基本事实与位置关系

三个基本事实（公理）：
① 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面；
② 若一条直线上的两点在一个平面内，则这条直线上所有点都在此平面内；
③ 若两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线（交线）。

关系	位置关系	符号/特征
直线与直线	相交	共面，一个公共点
	平行	共面，无公共点
	异面	不同在任何一个平面内（既不平行也不相交）
直线与平面	直线在平面内	无数公共点
	相交	一个公共点（含垂直特例）
	平行	无公共点
平面与平面	平行 / 相交	无公共点 / 有一条交线

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8.5 空间直线、平面的平行

概念判定定理与性质定理

线面平行：
判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（线线平行 ⇒ 线面平行）；
性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

面面平行：
判定：一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，则两平面平行；
性质：两平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面；与第三个平面相交，交线平行。

反例警示："平面内无数条直线平行于另一平面"推不出面面平行——必须是两条相交直线。一组平行直线不行。

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8.6 空间直线、平面的垂直

概念三大垂直定理

线线垂直：所成角是直角（包括异面垂直——平移到同一平面后成 90°）。

线面垂直：
定义：垂直于平面内任意一条直线；
判定：垂直于平面内两条相交直线，则垂直于该平面（"双垂线定理"）；
性质：垂直于同一平面的两条直线平行。

面面垂直：
判定：一个平面过另一个平面的一条垂线，则两平面垂直；
性质：两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。