本科课程 · 微积分(Ⅰ)

一元微积分

极限是整座微积分大厦的地基：导数是差商的极限，积分是黎曼和的极限，级数是部分和的极限。本课从 ε-δ 语言出发，经中值定理到达泰勒展开与牛顿-莱布尼茨公式，全程配可视化实验。

1 实数与函数（预备知识）

概念严谨的舞台

实数系的完备性（区别于有理数的关键）：有上界的非空集合必有上确界 sup；等价地，单调有界数列必收敛、闭区间套定理、Bolzano-Weierstrass 定理成立——这些是极限理论的后盾。
函数：f : D → R。初等性质：奇偶性、单调性、周期性、有界性。基本初等函数（幂、指、对、三角、反三角）经有限次四则与复合得初等函数（在其定义区间上连续）。
为什么需要完备性：有理数集中 √2 不存在，"x² = 2 的解列 1, 1.4, 1.41, …" 没有极限归宿——极限运算就无处安放。实数（戴德金分割/柯西列构造）补上了这个洞。

2 极限：从直观到 ε-N、ε-δ

定义数学家如何说"要多近有多近"

数列极限：∀ε > 0, ∃N ∈ N, 当 n > N 时 |aₙ − a| < ε，记 lim aₙ = a。
函数极限（x → x₀）：∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 0 < |x − x₀| < δ 时 |f(x) − A| < ε。
读法："你（对手）任给一个误差带 ε，我（证明者）都能找到一个去心邻域 δ，使图像落在 ε 带内。" —— 一个可获胜的对弈。

性质与判别：唯一性、局部有界性、保号性、夹逼准则；单调有界必收敛。两个重要极限：limx→0 sin x / x = 1；limx→∞ (1 + 1/x)ˣ = e。

无穷小与无穷大：lim α/β 的比值定义阶：同阶、等价（α ~ β）、高阶（α = o(β)）、k 阶。常用等价（x→0）：sin x ~ x，tan x ~ x，1−cos x ~ x²/2，ln(1+x) ~ x，eˣ−1 ~ x，(1+x)^a−1 ~ ax。

操作ε-δ 极限实验室 ⭐

对 f(x) = x²，验证 limx→a x² = a²。你拖 ε 定出水平误差带（黄色），计算机解出最大的 δ（紫色竖带）——紫带内的曲线是否始终落在黄带里？

把 ε 拖到很小——δ 随之变小，但永远存在。这就是"极限存在"的含义：对弈中你稳赢。换 a 试试：a 越大，同样的 ε 对应的 δ 越小（x² 在远处更陡）。

随堂检测极限与无穷小

3 连续函数

概念连续、间断与闭区间上的定理

连续：limx→x₀ f(x) = f(x₀)（极限值 = 函数值）。
间断点分类：
第一类（左右极限都存在）：可去型（左右极限相等但不等于函数值）、跳跃型（左右极限不等）；
第二类（左右极限至少一个不存在）：无穷型（如 1/x 在 0）、振荡型（如 sin(1/x) 在 0）。
闭区间上连续函数三大定理：
① 有界性与最值定理：[a,b] 上连续必有界且取得最大、最小值；
② 零点定理：f(a)·f(b) < 0 ⇒ ∃c ∈ (a,b)，f(c) = 0；
③ 介值定理：f 取到介于 f(a)、f(b) 之间的一切值。

零点定理是"二分法求根"的理论依据（高中已实验过，大学里给出严格证明）。

4 导数与微分

概念线性化的艺术

导数：f′(x₀) = limΔx→0 [f(x₀+Δx) − f(x₀)] / Δx——切线斜率 / 瞬时变化率（高中已直观体验，此处为严格定义）。
微分：Δy = f′(x₀)Δx + o(Δx)，记 dy = f′(x₀)dx。可微 ⇔ 可导（一元函数），本质是"局部以直代曲"：误差是高阶无穷小。
高阶导数：f″, f⁽ⁿ⁾；(uv)⁽ⁿ⁾ 的莱布尼茨公式 (uv)⁽ⁿ⁾ = Σ C(n,k) u⁽ᵏ⁾v⁽ⁿ⁻ᵏ⁾。
关系链：可导 ⇒ 连续（逆不成立：|x| 在 0 连续不可导）；不连续必不可导。常见反例：|x|（尖点）、x·sin(1/x)（振荡）、√x 在 0（单侧）。

随堂检测导数与微分

5 微分中值定理

定理连接局部与整体的桥梁

Fermat 引理：可导的极值点处 f′ = 0。
Rolle 定理：f 在 [a,b] 连续、(a,b) 可导且 f(a) = f(b) ⇒ ∃ξ ∈ (a,b)，f′(ξ) = 0。
Lagrange 中值定理（拉格朗日）：f(b) − f(a) = f′(ξ)(b − a)，ξ ∈ (a,b)——几何上：∃一点切线平行于弦。
Cauchy 中值定理：[f(b)−f(a)] / [g(b)−g(a)] = f′(ξ)/g′(ξ)（参数化曲线视角）。

推论（中值定理的"三件套"应用）：① f′ ≡ 0 ⇒ f ≡ 常数；② f′ ≡ g′ ⇒ f = g + C；③ f′ > 0 ⇒ 单调增（反之不真，如 x³ 在 0）。凹凸性：f″ > 0 ⇒ 下凸（凹弧）；拐点处 f″ 变号。

操作拉格朗日中值定理可视化（拖动端点）

拖动曲线上的两个端点：橙色弦随之变化，程序自动找到 ξ 处（红色点）——那里的切线（绿虚线）与弦平行。把两端拖到等高即变成 Rolle 定理：

6 洛必达法则与泰勒公式

定理用高阶信息算极限、逼近函数

洛必达法则：0/0 或 ∞/∞ 型，若 lim f′/g′ 存在（或为 ∞），则 lim f/g = lim f′/g′。可反复使用；每次用前必须验证未定式。其他型（0·∞、∞−∞、1^∞、0⁰、∞⁰）先化成 0/0 或 ∞/∞。
泰勒公式：f(x) = f(x₀) + f′(x₀)(x−x₀) + … + f⁽ⁿ⁾(x₀)/n! · (x−x₀)ⁿ + Rₙ(x)

常用麦克劳林展开：eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …；sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …；cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …；ln(1+x) = x − x²/2 + x³/3 − …（−1 < x ≤ 1）；(1+x)^α = 1 + αx + α(α−1)/2! x² + …。佩亚诺余项 Rₙ = o((x−x₀)ⁿ)，拉格朗日余项 Rₙ = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)/(n+1)! · (x−x₀)ⁿ⁺¹。

操作泰勒展开实验室 ⭐

选择函数与阶数 n，蓝色为真函数、橙色为 n 阶泰勒多项式：n 越大，"像"的范围越大——局部逼近的全局扩张：

试试 sin x 与 n = 1, 3, 5, …：每加一项，误差从 o(x) 升到 o(x³)、o(x⁵)——这正是"等价无穷小替换"的来历（一阶泰勒）。

随堂检测中值定理与泰勒

7 一元积分学

概念定积分、N-L 公式与积分法

定积分（黎曼和的极限）：∫ₐᵇ f dx = limλ→0 Σ f(ξᵢ)Δxᵢ（f 连续时必存在）。几何：曲边梯形面积的代数和。
微积分基本定理（N-L 公式）：若 F′ = f，则 ∫ₐᵇ f dx = F(b) − F(a)——微分与积分互为逆运算！
原函数存在定理：连续函数必有原函数（变上限积分 Φ(x) = ∫ₐˣ f dt 即是）。

积分法三件套：① 第一/第二换元（∫ f(φ(x))φ′(x)dx = ∫ f(u)du）；② 分部积分 ∫u dv = uv − ∫v du（"反对幂指三"选 u）；③ 有理函数部分分式。常见扩展：∫√(a²−x²)dx 用 x = a sin t。

应用：面积、旋转体体积（V = π∫y²dx / 壳法 2π∫xy dx）、弧长（∫√(1+y′²)dx）、旋转曲面侧面积。

操作黎曼和实验室（矩形逼近定积分）

对 f(x) = x² 在 [0, 2]（精确值 8/3 ≈ 2.6667）作黎曼和：调节份数 n 与取样方式，看和如何逼近：

随堂检测积分

8 反常积分

概念让区间或函数"越界"

无穷限积分：∫ₐ^∞ f dx = limt→∞ ∫ₐᵗ f dx，极限存在则收敛。
p 积分判别：∫₁^∞ dx/xᵖ 收敛 ⇔ p > 1；∫₀¹ dx/xᵖ 收敛 ⇔ p < 1。
瑕积分：f 在端点/内部无界时同样取极限定义。比较判别法（与 p 积分比）是主力。
经典结论：∫₁^∞ dx/x² = 1（收敛）；∫₁^∞ dx/x 发散（部分和 ≈ ln n → ∞）；∫₀^∞ e^{−x}dx = 1；Γ 函数 Γ(α) = ∫₀^∞ x^{α−1}e^{−x}dx，Γ(n) = (n−1)!，Γ(½) = √π。
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